Инга Кесс (ingakess) wrote,
Инга Кесс
ingakess

Categories:
  • Mood:
  • Music:

Задачка про человека, гулявшего 5 часов. Мои мысли :)

Комментарии в записи про задачку про человека, гулявшего 5 часов, забиравшегося на горку и с этой горки спускавшегося, раскрыты :).

А вот каковы были мои рассуждения (на том же форуме):

Мысль №1.

Человек прогуливался в течении 5-ти часов. По горизонтальной дороге
шел со скоростью 3 км/ч, потом поднимался в гору со скоростью 2 км/ч, затем
спускался со скоростью 5 км/час и заканчивал прогулку, возвращаясь по
горизонтальной дороге со скоростью 3 км/ч. Сколько км человек прошел за
время прогулки?


Ход мыслей такой.

1) Не указано, человек поднимался и опускался по одному и тому же склону
горы или нет. Он мог пройти разное расстояние, если один склон более крутой
или если человек поднимался/спускался не прямо, а "по диагонали". Также не
указано, возвращался человек по той же горизонтальной дороге или по другой.
Предположим, что человек спускался по тому же пути, по которому поднимался
(и обе упомянутых горизонтальных дороги - это одна и та же дорога), иначе
будет явно не хватать данных (а если это одна и та же дорога, пройденная
сначала в одну сторону, потом в другую, тогда данных может и хватить -
навскидку сказать трудно).

2) Обозначим начальный пункт А, подножие горы - В, вершину горы - С.
Пусть горизонтальная дорога имеет длину a км, а наклонная часть пути - b км.
Тогда:
(обозначим длину участка АВ за S AB, скорость на участке AB - v AB,
время, затраченное на прохождение участка АВ - t AB, и введем аналогичные
обозначения для остальных участков пути; удобно изобразить в виде таблицы
эти данные)


S АВ = a км, S ВС = b км, S CВ = b км, S ВA = a км,
v АВ = a км/ч, v ВС = b км/ч, v CВ = b км/ч, v ВA = a км/ч,
t АВ = a/3 ч, t ВС = b/2 ч, t CВ = b/5 ч, t ВA = a/3 ч,

найти надо S AB + S BC + S CB + S BA = 2(a+b) км,
суммарное время t АВ + t ВС + t CВ + t ВA = 2a/3 + b/2 + b/5 = 5ч (*)

Из (*) следует:
2a/3 + 5b/10 + 2b/10 = 5,
2a/3 + 7b/10 = 5,
20a/30 + 21b/30 = 5.
К сожалению, 2(a+b) отсюда выразить не удастся. Первоначальная задумка была
такая: возможно, не удастся найти a и b по отдельности, но нам-то достаточно
найти 2(a+b).

Сразу появилась мысль: а могли ли быть числа в условии задачи такими, чтобы
даже без добавления дополнительных условий, только путем замены одних чисел
на другие, можно было бы найти общее количество километров?

Это было бы возможно, например, если в последнем уравнении получилось
бы 20b/30 вместо 21 (хотя могло бы получиться и в других случаях).

При каких относительно негромоздких числах в условии задачи могло бы
получиться такое?
Пусть в условии задачи было бы указано, что вверх по склону человек шел со
скоростью n км/ч, а спускался со скоростью m км/ч.
Тогда достаточно найти какие-то негромоздкие n и m, такие, что
b/n + b/m = 20b/30 (**).
(при этом n и m должны быть положительными числами, по значениям
"правдоподобными" в том смысле, что они могут быть значениями скорости
человека, идущего в гору и с горы; например, 0,01 км/ч или 100 км/ч -
неправдоподобные значения).

Преобразуем (**), получим:
(m*b+n*b)/(n*m) = 20b/30,
30(m*b+n*b) = 20b*n*m,
30b(m+n) = 20b*n*m,
3(m+n) = 2n*m.

Можно выразить n через m или наоборот, а можно сразу подобрать значения.
Например, если с горы человек шел со скоростью m=4 км/ч,
тогда
3(4+n)=2n*4,
12+3n=8n,
5n=12,
n=12/5=2,4 км/ч - с такой скоростью человек мог спускаться с горы.

Можно подобрать и другие правдоподобные значения n и m, удовлетворяющие
условию b/n + b/m = 20b/30; кроме того, можно было также менять скорости на
участке AB, ВА. Главное - вполне могли существовать такие числа, при которых
задача была бы решаемой даже без дополнительных данных.

Например, для приведенных значений задача выглядела бы так:

Человек прогуливался в течении 5-ти часов. По горизонтальной дороге шел
со скоростью 3 км/ч, потом поднимался в гору со скоростью 2,4 км/ч, затем
спускался со скоростью 4 км/час и заканчивал прогулку, возвращаясь по
горизонтальной дороге со скоростью 3 км/ч. Сколько км человек прошел за
время прогулки?


Для такого условия задачи получилось бы
(т.к. b/2,4 + b/4 = b/(12/5)+b/4 = 5b/12+3b/12 = 8b/12 = 2b/3 = 20b/30)
вместо уравнения, выделенного полужирным шрифтом , было бы уравнение:
20a/30 + 20b/30 = 5,
тогда
2(a+b)*10/30 = 5,
2(a+b)/3 = 5,
2(a+b) = 15,
а 2(a+b), как было показано вначале, это и есть общее количество километров,
которое нужно найти. Т.е. при новой формулировке задачи человек прошел бы 15
км.

Разумеется, можно было бы подобрать и другие числа, при которых задача тоже
решалась бы даже без введения дополнительных данных :).

Мысль №2

Несложные рассуждения позволяют вывести общую формулу: при каких значениях
скоростей задача будет иметь решение даже без дополнительных условий?

Пусть по горизонтальной части дороги человек шел в одну сторону со скоростью
k км/ч, в другую - со скоростью p км/ч; в гору поднимается со скоростью m
км/ч, а спускается со скоростью n км/ч.
Тогда уравнение, выделенная полужирным шрифтом в моем предыдущем посте
(уравнение, из которого могло бы быть найдено искомое общее
пройденное расстояние), примет вид:

a/k + a/p + b/n + b/m = 5,

тогда

a(p+k)/(p*k) + b(n+m)/(n*m) = 5.
Поскольку найти в задаче нужно то, что в моих обозначениях выглядит как
2(a+b), то задача будет легко решаться, если

(p+k)/(p*k) = (n+m)/(n*m) (обозначим эту величину (n+m)/(n*m) за h)

(потому что в этом случае h можно вынести за скобку, в скобках останется
a+b, и мы эту сумму a+b легко сможем найти)
.

То есть нужно найти, при каких p,k,m,n (обязательно удовлетворяющих условию
задачи, т.е. такое значение может принимать скорость идущего человека, а
также желательно красивых, т.е., например, являющихся натруальными числами)
будет верно равенство:
(p+k)/(p*k) - (n+m)/(n*m) = 0. (выражение в левой части равенства обозначу
как ***)

Таких чисел можно подобрать много. Но мое предположение таково: изначально
задача была решаемой, а нерешаемой стала из-за опечатки в условии (или из-за
того, что какое-то число забыли и неверно вспомнили при записи условия
задачи). То есть всего одно число надо поменять на очень похожее - и задача,
возможно, решится.

В изначально приведенном условии задачи значения m,n,k,p таковы:
m=2, n=5, k=3, p=3. (при таких значениях переменных выражение (***) не равно
нулю).
Но если поменять число 5 на очень похожее число 6 (внешне очень похожее, так
что при припоминании задачи можно было и ошибиться; с другой стороны, цифры
5 и 6 находятся рядом на клавиатуре, так что опечатка тоже вполне была
возможна),
тогда получается:

m=2, n=6, k=3, p=3,
(p+k)/(p*k) - (n+m)/(n*m) = (3+3)/3*3 - (2+6)/2*6 = 6/9 - 8/12 = 2/3 - 2/3 =
0.

То есть задача должна решиться!

Проверим, что получится :).

Итак, если задача звучала бы так:

Человек прогуливался в течении 5-ти часов. По горизонтальной дороге
шел со скоростью 3 км/ч, потом поднимался в гору со скоростью 2 км/ч, затем
спускался со скоростью 6 км/час и заканчивал прогулку, возвращаясь по
горизонтальной дороге со скоростью 3 км/ч. Сколько км человек прошел за
время прогулки?


(полужирным шрифтом выделено внесенное в текст задачи минимальное изменение
:))

Тогда при ее решении уравнение выглядело бы так:

a/3 + b/2 + b/6 + a/3 = 5.

Тогда

2a/3 + 3b/6 + b/6 = 5,
2a/3 + 4b/6 = 5,
2a/3 + 2b/3 = 5,
2(a+b)/3 = 5,
То есть 2(a+b) = 15.

А поскольку 2(a+b) - это и есть весь пройденный путь за время прогулки,
то ответ - 15 км :).
И условие задачи пришлось менять минимально.
А может, оно изначально именно так и выглядело? ;)

Мысль №3

Задача меня заинтересовала :).
Интересно стало: а нельзя ли подобрать другие красивые числа p,k,m,n
(значения скоростей)?
Поскольку вариантов может быть много, я не стала выводить формулу, а
написала программу, перебирающую возможные натуральные значения скоростей на
четырех участках пути, и выясняющую, при каких значениях p,k,m,n будет
(p+k)/(p*k) = (n+m)/(n*m) (т.к. именно при этом условии задача легко
решается).

Во-первых, числа натуральные, потому что задача должна выглядеть красиво (с
дробными числами не так красиво ;)).
Во-вторых, скорость должна лежать в разумных пределах. Скажем, от 1 до 7
км/ч.
В-третьих, числа не должны совпадать. Если все четыре числа равны, задача
решается устно, это неинтересно :). К тому же более правдоподобно будет,
если в гору человек будет идти медленнее, чем по горизонтали, а с горы -
наоборот, быстрее, чем по горизонтали. То есть n<k, n<p, m>k, m>p.

Так вот, если перебрать наборы чисел, удовлетворяющие этим условиям,
получится всего два возможных набора чисел! Один мы уже рассмотрели (3,2,6,3
км/ч).
А второй: 4 км/ч, 3 км/ч, 6 км/ч, 4 км/ч.

При этом втором наборе чисел задача звучала бы так:

Человек прогуливался в течении 5-ти часов. По горизонтальной дороге шел
со скоростью 4 км/ч, потом поднимался в гору со скоростью 3 км/ч, затем
спускался со скоростью 6 км/час и заканчивал прогулку, возвращаясь по
горизонтальной дороге со скоростью 4 км/ч. Сколько км человек прошел за
время прогулки?


Тогда уравнение выглядело бы так:

a/4 + b/3 + b/6 + a/4 = 5,

тогда
a/2 + b/2 = 5,
(a+b)/2 = 5,
a+b = 10,
2(a+b) = 20.

То есть в этом варианте задачи человек за время прогулки прошел бы 20 км :).

Но все же предыдущий вариант (3,2,6,3 км/ч в условии и 15 км в ответе)
кажется мне более вероятным в качестве "изначального варианта задачи", т.к.
там меняется всего один символ в условии задачи - это можно списать на
очепятку при наборе текста задачи :).

Мысль №4

Все же мне не дает покоя задача про путь в гору и с горы :). Решила ее
добить до конца.
Я остановилась на том, что показала, при каких значениях исходных данных
(скорости на различных участках пути) задача будет хорошо решаться. Но я не
показала, каким может быть решение задачи при тех значениях скоростей,
которые были приведены. Понятно, что однозначного решения тут не будет. Но
все же, что можно найти, если отталкиваться именно от тех данных, которые
были приведены?

Буду рассматривать уравнение
20a/30 + 21b/30 = 5 (*)

Из уравнения (*) можно выразить, например, a через b:
a = (150 - 21b)/20.
Величина, которую нужно найти в задаче (весь путь), - это 2(a+b).
b + a = b + (150 - 21b)/20 = (20b + 150 - 21b)/20 = (150 - b)/20,
2(a+b) = (150 - b)/10 = 15 - b/10 (**)

Мы можем подставлять любые числа вместо b в (**)?
На самом деле - не любые.
Во-первых, b>0 (по условию задачи). Пройденный путь также положителен:
15 - b/10 >0,
b<150.
Казалось бы, 150 - слишком большое число (явно человек не может пройти такое
количество км за 5 часов, если даже максимальная скорость была всего 5
км/ч).
Но на самом деле есть еще одно ограничение: a - тоже положительное число
(длина горизонтального участка пути).
a>0,
(150 - 21b)/20 >0,
b<50/7 (50/7 - чуть больше 7).

То есть если мы будем подставлять в выражение 15 - b/10 любые
положительные b, не превышающие 50/7, мы будем получать различные решения
задачи. При этом количество километров, пройденных за время прогулки, будет
меньше 15 (это значение получается при b=0, если весь путь был пройден по
горизонтали), но больше, чем 100/7 (это значение, равное 14,(285714),
получается при b=50/7, при этом a=0, то есть вся прогулка была по склону
вверх и вниз).

Например, при b=1 получается, что длина всего пути туда и обратно 14,9 км.
При b = 2 длина всего пути равно 14,8 км.
при b = 3 длина всего пути равно 14,7 км.
И так далее. Максимальное целое значение b равно 7, при этом a=0,15, а длина
всего пути туда и обратно - 14,3 км. При значениях b, превышающих 50/7,
значения a (длина горизонтального участка пути) становятся отрицательными.
(Разумеется, значения b могут быть и дробными).

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments